Геометрија четвородимензионих нилпотентних Лијевих група

Abstract

U ovom radu izlažemo klasifikaciju levo-invarijantnih metrika proizvoljne signature na četvorodimenzionim nilpotentnim Lijevim grupama. Detaljno ispitujemo njihovu geometriju, sa posebnim naglaskom na grupe holonomija i dekompozabilnost metrika. Takođe, potpuno opisujemo grupe izometrija i nalazimo primere metrika za koje su zadovoljene stroge nejednakosti Isplit < Iaut < I. U slučaju metrika neutralne signature na nilpotentnim Lijevim grupama sa degenerisanim centrom dobijamo Vokerove metrike. Formulišemo i dokazujemo potreban i dovoljan uslov da one dopuštaju nilpotentnu grupu izometrija. Na kraju, dajemo odgovor na pitanje egzistencije projektivno ekvivalentnih metrika. Pokazujemo da su na četvorodimenzionim nilpotentnim Lijevim grupama sve levo-invarijantne metrike ili geometrijski rigidne ili postoje njima projektivno ekvivalentne metrike koje su istovremeno i afino ekvivalentne. Iako su sve afino ekvivalentne metrike levo-invarijantne, njihova signatura može biti različita.

In the present work we classify left invariant metrics of arbitrary signature on four-dimensional nilpotent Lie groups. Their geometry is extensively studied with special emphasis on holonomy groups and decomposability of metrics. Also, isometry groups are completely described and we give examples of metrics where strict inequalities Isplit < Iaut < I hold. It is interesting that Walker metrics appear as the underlying structure of neutral signature metrics on the nilpotent Lie groups with degenerate center. We find necessary and sufficient condition for them to locally admit nilpotent group of isometries. Finally, we solve the problem of projectively equivalent metric on four-dimensional nilpotent Lie groups by showing that left invariant metric is either geometrically rigid or have projectively equivalent metrics that are also affinely equivalent. All affinely equivalent metrics are left invariant, while their signature may change.