Функционални рачуни за н-торке комутирајућих неограничених оператора

Abstract

Predgovor i motivacija Neka je A algebra funkcija, a B algebra operatora, na kojima su uvedene Hausdorfove topologije saglasne sa algebarskom strukturom, tj. topologije u kojima su algebarske operacije neprekidne. Funkcionalni račun za operator T ∈ B, uopšteno govoreći, jeste homomorfizam Φ : A → B, tako da A sadrži polinome i da važi Φ(1) = e (1 (1R) je funkcija indentički jednaka 1, a e je jedinica algebre B) i Φ(I(x)) = T (I(x) ≡ x je identička funkcija). Homomorfizam Φ je pritom (u nekom smislu) neprekidan. I više, poželjno je da je algebra A generisana sa 1 i x, tj. da su polinomi gusti u A (u topologiji prostora A ). Među primerima funkcionalnih računa, jedan od onih sa kojima se u literaturi može najčešće sresti jeste analitički funkcionalni račun na Banahovim algebrama. To je homomorfizam Φ : H → C , gde je C Banahova algebra, T ∈ C , a H algebra funkcija, analitičkih u nekoj okolini σ(T ) (sa topologijom generisanom uniformnom konvergencijom po kompaktima), koji je definisan sa (1) Φ(f ) = 1 2πi ∫ Γ f (λ)(λe − T )−1dλ = f (T ), gde je Γ ⊂ Dom(f ) i σ(T ) ⋐ int Γ. Ovo preslikavanje je neprekidno ,,na prirodan način”. Još jedan često sretan primer funkcionalnog računa opisan je spektralnom teoremom. Ako je H Hilbertov prostor i T ∈ B(H ) normalan operator, sa L∞(σ(T )) ∋ f −→ ∫ σ(T ) f (λ)dEλ = f (T ) (gde je Eλ spektralna mera) definisan je homomorfizam Φ : L∞ → B(H ), koji je neprekidan po normi, pošto je ‖f ‖∞ = ‖f (T )‖ i važi fn t.p.t. −→ f ⇒ fn(T ) s → f (T ) (,,neprekidnost”). Iz ovih primera moжe se primetiti da ako je funkcionalni raqun definisan za široku klasu operatora, algebra funkcija je relativno mala. Ukoliko se algebra funkcija proširi, potrebno je pojačati uslove koje operator ispunjava. Ako bi se govorilo o pristupima uvođenja funkcionalnog računa na Banahovom prostoru, svim do sada poznatim tehnikama zajedničko je da se, prilikom definisanja f (T ) (gde f i T pripadaju odgovarajućim klasama, kao u prvom pasusu teksta), f (x) prikazuje kao superpozicija ,,jednostavnijih” funkcija ωα(x) (α pripada nekoj indeksnoj familiji), za koje se definiše ωα(T ), a onda i f (T ) pomo²u operatora ωα(T ). Jedan od primera je dat formulom (1); u ovom primeru se definiše ωα(T ) za funkcije ωα(x) = (α − x)−1 (α ∈ ρ(T ); ωα(T ) = (α − T )−1 je zapravo rezolventa), a nakon 1 toga se jednakošću (1) pojam f (T ) definiše za širu klasu funkcija (analitičke na odgovarajućem skupu). U drugom poznatom primeru (jedna od varijanti), za samoadjungovan operator T na Hilbertovom prostoru, pojam f (T ) se može definisati sa f (T ) = 12π ·∫R̂ f (t)eitT dt, gde jê f Furijeova transformacija funkcije f . U ovom slučaju ωα(T ) se definiše za funkcije ωα(x) = eiαx (α ∈ R; ωα(T ) = eiαT je odgovarajuća jednoparametarska grupa), a nakon toga se prethodnom formulom (koja za motivaciju ima čuvenu formulu inverzije za Furijeovu transformaciju) pojam f (T ) prenosi na širu klasu funkcija (na klasu funkcija za kojê f (x) ,,dovoljno brzo opada”, a ova osobina se prirodno povezuje sa brzinom rasta ‖eitT ‖ kad t → ∞). Svaki od prethodnih pristupa ima prednosti i mane. Pristup preko Furijeove transformacije dovodi do najsuptilnijih trenutno poznatih rezultata u problemima spektralne asimptotike (videti, na primer, [19] i [20]). Međutim, tad se zahteva dobro poznavanje odgovarajuće unitarne grupe, dok je pristup preko simulacije Košijevog integrala praktičniji za upotrebu i računsku manipulaciju sa operatorima (pa se češće javlja u nekim primenama, naročito u fizici; videti, na primer, [15] i [18]). Za ograničene operatore problem uvođenja funkcionalnog računa je prilično dobro proučen, dok je za neograničene operatore i dalje ostalo mnogo otvorenih problema. U ovom radu proučavan je problem uvođenja funkcionalnog računa za n-torke komutirajućih uopštenih skalarnih operatora na Banahovom prostoru. Tehnika koja se koristi je tehnika Furijeove transformacije; ovo nije nova tehnika i za definisanje funkcionalnog računa korišćena je još 1952. Za slučaj jednog operatora sa spektrom na kružnici ova ideja se javlja, na primer, u [28], gde autor ovu ideju pripisuje Berlingu. Centralni rezultati se nalaze u glavi 3, a ti rezultati su i sastavni delovi radova [21] i [22]. Radi lakšeg praćenja, tekst je podeljen u glave, a glave u odeljke, dok je na početku svake glave dat kratak opis onoga što se nalazi u glavi. Iskoristio bih ovu priliku da se zahvalim ljudima koji su doprineli (ili bar nisu odmogli) mom profesionalnom razvitku, porodici, prijateljima i kolegama posebno ljudima koji su direktno učestvovali u izradi ove disertacije, i to motivacijom, sugestijama, ali i aktivnim učešćem u rešavanju samog problema, kao i podrškom u odluci da se bavim matematikom